Pregunta de Álgebra tomado del Examen de Admisión PUCP: Evaluación del Talento CATÓLICA 2019-1
Dada la función cuadrática \(F\) que corta al eje de las abscisas en los puntos \((5,0)\) y \((-1,0)\), halle el punto de corte con el eje de las ordenadas, sabiendo que el mínimo valor que toma la función es \(-3\).
A) \(\left(0,-\frac{1}{3}\right)\)
B) \(\left(0,-\frac{3}{2}\right)\)
C) \(\left(0,\frac{1}{2}\right)\)
D) \(\left(0,-\frac{5}{3}\right)\)
Resolución.
Temas:
- Funciones
- Funciones cuadráticas
Como la función pasa por los puntos \((5,0)\) y \((-1,0)\) y tiene como valor mínimo a \(-3\), entonces la gráfica de \(F\) es de la siguiente forma:
Del gráfico
$$F(x)=a(x-2)^2-3$$
Como \((5,0)\in F\), entonces
$$0=a(5-2)^2-3\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}$$
Luego, la función es
$$F(x)=\dfrac{1}{3}\cdot (x-2)^2-3$$
Necesitamos calcular \(F(0)\), pues para \(x=0\) la gráfica de \(F\) corta el eje de ordenadas.
$$F(0)=\dfrac{1}{3}\cdot (0-2)^2-3=-\dfrac{5}{3}$$
El punto de corte con el eje de las ordenadas es \(\left(0,-\frac{5}{3}\right)\).
Clave D
$$F(x)=a(x-2)^2-3$$
Como \((5,0)\in F\), entonces
$$0=a(5-2)^2-3\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}$$
Luego, la función es
$$F(x)=\dfrac{1}{3}\cdot (x-2)^2-3$$
Necesitamos calcular \(F(0)\), pues para \(x=0\) la gráfica de \(F\) corta el eje de ordenadas.
$$F(0)=\dfrac{1}{3}\cdot (0-2)^2-3=-\dfrac{5}{3}$$
El punto de corte con el eje de las ordenadas es \(\left(0,-\frac{5}{3}\right)\).
Clave D
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